Первым делом хочу добавить информацию с официального сайта Государственной миграционной службы АР

Документы, требуемые для выдачи (продления срока) иностранным гражданам и лицам без гражданства разрешения на временное проживание на территории Азербайджанской Республики
Для выдачи (продления срока) разрешения на временное проживание на территории Азербайджанской Республики иностранные граждане и лица без гражданства должны представить следующие документы:
- заявление-анкета, образец которой утвержден соответствующим органом исполнительной власти;
- копия паспорта или иного проездного документа (срок действия паспорта или иного документа должен составлять не менее 3 месяцев с момента окончания срока действия запрашиваемого разрешения на временное проживание);
- нотариально заверенная копия свидетельства о рождении или другого документа, равного ему (для не имеющих паспорта лиц, не достигших 18-летнего возраста);
- нотариально заверенный или равный таковому документ, удостоверяющий наличие случаев, являющихся основанием для предоставления разрешения на временное проживание;
- справка о том, что они не являются носителями вируса опасных инфекционных заболеваний, перечень которых утвержден соответствующим органом исполнительной власти (Вирус иммунодефицита человека, гепатит В и С);
- копия документа, предоставляющего право временного пребывания или временного проживания на территории Азербайджанской Республики;   
- мотивированное ходатайство учреждений, предприятий и организаций, приглашающих в Азербайджанскую Республику высококвалифицированных специалистов в экономической, промышленной, оборонной, научной, культурной, спортивной и прочих областях;
- 2 фотографии размером 3,5x4,5 см;
- документ жилой площади, куда будет зарегистрирован иностранный гражданин либо лицо без гражданства  (выписка из государственного реестра недвижимости о государственной регистрации права собственности, ордер, договор об аренде (съеме) или иной документ, предусмотренный законодательством Азербайджанской Республики);
- заявление лица, предоставляющего жилую площадь иностранному гражданину или лицу без гражданства (за исключением случаев наличия в собственности  иностранного гражданина или лица без гражданства жилой площади);
- копия документа, удостоверяющего личность лица, предоставляющего жилую площадь иностранному гражданину или лицу без гражданства (за исключением случаев наличия в собственности  иностранного гражданина или лица без гражданства жилой площади);
- документ об уплате государственной пошлины.
Документ об уплате государственной пошлины предъявляется при выдаче иностранным гражданам и лицам без гражданства удостоверения разрешения на временное проживание на территории Азербайджанской Республики.

Вроде описано так много и сложно, но на деле легко) Конкретнее ниже выложу, на своем примере...

А теперь о постоянном проживании...

Для выдачи (продления срока) разрешения на постоянное проживание на территории Азербайджанской Республики иностранные граждане и лица без гражданства должны представить следующие документы:
-заявление-анкета, образец которой утвержден соответствующим органом исполнительной власти;
-копия паспорта или прочего проездного документа;
-нотариально заверенная копия свидетельства о рождении и равного ему прочего документа (для не имеющих паспорта лиц, не достигших 18-летнего возраста);
-справка о составе семьи (с указанием имен, фамилий, года рождения, занятия, места проживания или пребывания членов семьи);
-нотариально заверенная копия свидетельства о браке;
-справка о том, что они не являются носителями вируса опасных инфекционных заболеваний, перечень которых утвержден соответствующим органом исполнительной власти (Вирус иммунодефицита человека, гепатит В и С);
-документ о наличии у иностранных граждан и лиц без гражданства и  въезжающих вместе с ними членов семьи средств, достаточных для удовлетворения их минимальных потребностей (за исключением случаев, когда близкий родственник - гражданин Азербайджанской Республики или лицо, получившее разрешение на постоянное проживание в Азербайджанской Республике берет обеспечение на себя);
-при наличии профессиональной специализации у иностранных граждан и лиц без гражданства, нотариально заверенная копия документов, подтверждающих данный факт;
-копия удостоверения разрешения на временное или постоянное проживание на территории Азербайджанской Республики;   
-нотариально заверенная копия документов, удостоверяющих о не устранении случаев, явившихся основанием для выдачи разрешения на временное проживание в Азербайджанской Республике;
-2 фотографииразмером 3,5x4,5 см;
-нотариально заверенное согласие детей в возрасте от 14 до 18 лет;
-документ жилой площади, куда будет зарегистрирован иностранный гражданин либо лицо без гражданства (выписка из государственного реестра недвижимости о государственной регистрации права собственности, ордер, договор об аренде (съеме) или иной документ, предусмотренный законодательством Азербайджанской Республики);
-заявление лица, предоставляющего жилую площадь иностранному гражданину и лицу без гражданства (за исключением случаев наличия в собственности  иностранного гражданина или лица без гражданства жилой площади);
-копия документа, удостоверяющего личность лица, предоставляющего жилую площадь иностранному гражданину или лицу без гражданства (за исключением случаев наличия в собственности иностранного гражданина или лица без гражданства жилой площади);
-документ об уплате государственной пошлины.
Документ об уплате государственной пошлины предъявляется при выдаче иностранным гражданам и лицам без гражданства удостоверения разрешения на постоянное проживание на территории Азербайджанской Республики.